15 发现阿基米德公式

在前面的课程中，我们揭示了一些微积分关系，即系统如何变化的 “算术”：

这些规则对我们有什么帮助？

• 如果我们已经有了一个等式，那么这些规则就是我们找到逐步模式的捷径。幂次法则让我们不再把一个增长的正方形或立方体看成是一个图形，而是让我们通过x^2和x3。无论x^2是指一个正方形，还是仅仅指乘方--我们可以得到变化的模式。
• 如果我们有一组变化，这些规则就能帮助我们逆向推导出原始模式。

学会用微积分来思考，意味着我们可以用 X 光和延时视觉来想象正在发生的变化，并用规则来计算出具体细节。最终，我们可能什么都不用想象，直接用符号来计算（就像你今天做算术题一样）。

在课程开始时，我们将环形变为圆形，然后是球形，最后是贝壳形：

有了正式的规则，我们就可以快速通过计算，自己找到圆/球公式。这听起来可能有点奇怪，但当你看到这些公式在你面前变形时，我觉得它们与众不同，几乎是活的。让我们开始吧。

15.1 将圆周长改为面积

我们第一个 “循序渐进 ”思考的例子是将一连串的圆环粘成一个圆：

开始时，我们需要大量的可视化。我们必须展开圆环，将它们排成一行，意识到它们组成了一个三角形，然后用
来计算面积。直观、乏味......但很有必要。在使用原始方程之前，我们需要感受正在发生的事情。

我们一起来看看。从 “逐环延时 ”的概念到 “整合各环，从无到全半径”，最终：

我们希望将这些面积累积起来，形成我们的圆盘。

如何求解这个等式呢？通过逆向思维。我们可以将

参考资料

• 软件测试精品书籍文档下载持续更新 https://github.com/china-testing/python-testing-examples 请点赞，谢谢！
• 本文涉及的python测试开发库 谢谢点赞！ https://github.com/china-testing/python_cn_resouce
• python精品书籍下载 https://github.com/china-testing/python_cn_resouce/blob/main/python_good_books.md
• Linux精品书籍下载 https://www.cnblogs.com/testing-/p/17438558.html

15.2 将面积转化为体积

让我们更进一步。我们可以把圆片加厚成板，然后构建一个球体：

让我们慢慢来。我们有几个板，每个板的 “X 坐标 ”都不同。单个圆板的大小是多少？

板有厚度dx和自己的半径。板的半径是它从 x 轴出发的高度，我们可以把它叫做y。
.

一开始有点混乱： r是整个球体的半径，但y是被测板的半径（通常较小）。事实上，只有中心板 (x=0）的半径与整个球面的半径相同。

根据勾股定理，我们可以将平板的x位置与其高度y联系起来: x^2 + y^2 = r^2

好的。我们有了每块板的尺寸，就可以积分求体积了，对吗？

没那么快。与其从左边的负 x 坐标开始，移动到 0，然后再移动到最大值，不如把球体看成两个半球：

求总体积时，先求出一半的体积，再将其翻倍。这是一个常见的技巧：如果一个形状是对称的，就先求出其中一部分的大小，然后将其放大。通常，计算 “0 到最大值 ”比计算 “最小值到最大值 ”更容易，特别是当 “最小值 ”为负数时。

好的。现在让我们来解决它：

哇哦 好大一个方程。虽然看起来很多，但我们还是要解决它：

觉得这很难吗？你根本想不到。阿基米德是有史以来最伟大的天才之一，他花了巨大的精力才计算出这一行。他必须想象一些球体、一个圆柱体、一些圆锥体和一个支点，想象它们之间的平衡，然后......这么说吧，当他发现这个公式时，他把它写在了自己的坟墓上。

15.3 将体积转化为表面积

有了体积，求表面积就容易多了。我们可以用逐壳 X 射线对球体进行薄薄的 “剥离”：

我把整个外壳想象成现有球体表面的 “粉末”。有多少粉末？是dV体积的变化。好吧，粉末覆盖的面积是多少？

嗯。想想类似的问题：一袋地膜覆盖多少面积？得出体积，除以所需的厚度，就得出了覆盖面积。如果我给你 300 立方英寸的泥土，并把它铺成 2 英寸厚的土堆，那么这堆泥土将覆盖 150 平方英寸的面积。毕竟，如果 Area * Thickness = Volume, 那么 Area = Volume / Thickness。
.

在我们的例子中dV是外壳的体积， dr是厚度。我们可以将 dV沿着我们考虑的厚度 dr ，看看我们增加了多少面积： dV/dr。

这时，正确的符号就派上用场了。我们可以把导数看作抽象的瞬时变化率（ V`），也可以看作具体的比率（dV/dr）。
. 在这种情况下，我们要考虑的是各个元素以及它们之间的相互作用（壳体体积/壳体厚度）。

因此，根据以下关系

我们可以算出

哇，速度真快！我们可以尝试将圆周率直接转化为表面积，但这比较复杂。

在计算公式的过程中，我们 “去掉 ”了r^3得到3r2 .

15.4 2000 年的数学一日千里

我们所研究的步骤是经过 2000 年的思考才发现的，而且是由最伟大的天才们发现的。微积分的视角如此宽广，令人叹为观止，很难想象它在哪里不适用。这就是利用 X 射线和延时视觉：

• 将事情分解。在你目前的情况下，接下来会发生什么？之后呢？这里有什么规律吗？(变大、变小、不变）这些知识对你有用吗？
• 找到源头。你看到了一系列变化--是什么导致了这些变化？如果你知道源头，你能预测所有变化的最终结果吗？这种预测有用吗？
  我们习惯于分析方程式，但我希望不要止步于此。数字可以描述情绪、辣度和客户满意度；逐步思考可以描述作战计划和心理治疗。方程和几何只是分析的良好起点。数学与方程无关，音乐与乐谱无关--它们指向的是符号内的思想。

虽然还有更多关于其他导数、积分技巧和无穷大原理的细节，但你并不需要它们来开始微积分的思考。你今天的发现会让阿基米德热泪盈眶，这对我来说已经是一个很好的开始了。